הקדמה

שעון המתופפים הוא שעון מים וככל הנראה גם אחת ממכונות התופים הראשונות ואב קדמון של הרובוטים המוזיקליים. הוא כולל חמישה מתופפים מכאניים: שני נגני מצילתיים, שני מתופפים הנושאים תופי מצעד ומתופף היושב לפני שני תופי דוד (טימפני). למרות ההתקדמות הגדולה ברובוטיקה ובבינה מלכותית (AI-Artificial Intelligence) רובוטים מוזיקלים  נופלים ממוסיקאים אנושיים, הנגינה שלהם חסרה גוונים ודקויות ו"מכאנית" בהשוואה. דווקא הפשטות של מכונת התופים בהשוואה נניח לרובוט המנגן בכינור מסייעת להתמקד בקושי האמיתי. הפוסט הזה נע בין הסברים על שעון המתופפים לבין הרהורים על הקשיים ביצירת רובוט מוזיקלי "מוזיקלי".

שעון המתופפים, עותק שהתפזר, 1315

איך זה עובד?

השעון הזה הוא גרסה פשוטה של שעון הטירה עם פחות מנגנונים להצגת הזמן וגם אלה שנותרו פשוטים יותר. הרכיבים הגדולים -מיכל המים, המצוף ובקר הזרימה – זהים באופן מלא לשעון הטירה וגם "קרונית הזמן" דומה מאד, קצת כמו גרסה זולה לטלפון סלולרי. אל-ג'זרי לא חוזר ומסביר אותם אלא מפנה את הקורא לפרק הראשון (שעון הטירה). גם אני אעבור ישירות למוסיקאים. אל-ג'זרי כותב :

"כחלוף שעה יופיעו הנגנים (نوبة – נובה הוא ז'אנר מוסיקלי מארצות צפון אפריקה שמקורו במוזיקה האנדלוסית)  בצליל קולני הנשמע למרחקים"

ההסבר ההנדסי, ייצבע בכחול כמו תמיד, כך שמי שלא מתעניין במיכלי הטיה, גלגלי כפות וגלי זיזים יוכל לדלג. השרטוט למטה הוא השרטוט המקורי של אל ג'זרי עם כתוביות שהוספתי.

מנגנון הפעלת הנגנים עם כתוביות שלי, עותק טופקאפי, 1206.

פעם בשעה נשפכים המים על גלגל הכפות. זהו שעון גדול ממדים ובכל פעם כזו זורמים כשמונה ליטרים מים. הגלגל מסתובב ואיתו הציר המחובר אליו. יחד עם הציר מסתובבות גם היתדות הניצבות לציר ובתנועתן הן פוגעות במוט אליו מחוברת רצועת הנחושת. היתדות הן גרסה מוקדמת של גל זיזים (camshaft) ומעבירות תנועה מעגלית לתנועה קווית. מספר היתדות והמרווחים ביניהם יוצרים תבניות שונות של תיפוף. המוט מחובר עם רצועת נחושת, המושחלת דרך גוף העץ החלול של הנגן, לחלק הניד של הזרוע. כאשר מושכים ברצועה הזרוע עולה ולאחר השחרור היא יורדת ומכה בתוף או במצלתיים. היתדות (גל הזיזים) מאורגנות באופן שאופייני לעבודתו של אל-ג'זרי, שתי יתדות סמוכות זו לזו ויתד שלישית מרוחקת וכך מתקבלות שתי הכאות יחסית מהירות, המתנה והכאה שלישית. יש גם שני חצוצרנים אבל הם רק "אביזרי תפאורה". הצליל של החצוצרות מופק בנפרד ע"י המים מגלגל הכפות שנשפכים אל מיכל האויר ודוחסים את האויר שבו דרך הצינור עם המשרוקית והיא משמיעה קול. אל-ג'זרי השתמש במנגנון זה רבות, במגוון אוטומטות ו"חלילי מים".

רובוטיקה ואכזבת התלמידים

רובוטיקה היא דרך מהנה ולפעמים מרגשת ללמד וללמוד מדע וטכנולוגיה. זה נכון גם לתלמידים מצטיינים וגם לתלמידים שמתקשים בשיעורי המתמטיקה והמדעים. אלו כאלו  לוקחים על עצמם ברצון בעיות רובוטיקה, חוקרים נושא ובונים רובוט עצמאי תוך שימוש בחשיבה מקורית וברעיונות שלהם. לימדתי רובוטיקה במסגרות שונות: בבית הספר היסודי גבריאלי, במסגרת תיכון ברנקו וייס ע"ש הרצוג בבית חשמונאי וגם במסגרת מכון דוידסון לחינוך מדעי. בכל השנים שלימדתי מצאתי שזו חוויה לימודית ויצירתית. מעבר לכלי התכנות, להנדסה המכנית, לאלקטרוניקה ולגלאים זה מלמד ילדים להתמודד ולהתגבר על מכשולים, בונה בטחון והערכה עצמית ומעניק השראה למדע וטכנולוגיה. במסגרת שיעור הפתיחה הייתי מציג מגוון רחב של רובוטים כולל הרובוט שמנגן בכינור:

וכמעט בכל כתה שלימדתי של תלמידים (נלהבים ושמחים) היה תלמיד שהתלונן שהנגינה של הרובוט, "מכאנית" או "רובוטית" כהסתייגות או חולשה. בנגינה בכינור יש שפע של דקויות באופן שבו הכנר מפיק את הגוון (Timbre) של צליל הכינור והן תוצאה של הרבה בחירות, ראשית באיזה מיתר להשתמש, כמה לחץ תפעיל הקשת ובאיזה מהירות היא תנוע, האם להשתמש בקשת כולה או רק בחלקה ובאיזו הטיה. כל הבחירות האלו משקפות את ההבנה המוסיקלית של הכנר ותצורנה הדהוד רגשי אצל השומע. הרובוט המוסיקלי בסרט מתוכנת כך שהוא "יודע" לנגן את התווים נכון. אבל ההבנה המוסיקלית שלו לא קיימת וכל הרעיון של אינטרפרטציה זר לו. מכונת התופים הרבה יותר פשוטה מן הכינור ותקל על הדיון.

רובוטים מוזיקאליים ומוזיקה

הבחירה של המתופף כוללת "בסך הכל" את השאלה באיזה מן התופים להכות ובאיזה תבנית? במונחים של מכונת התופים של אל-ג'זרי זהו סידור היתדות עבור כל תוף ואולי גם שינוי אורכם על מנת להשפיע על עוצמת המכה. אצל אל-ג'זרי התיפוף הוא קבוע לגמרי ו"התכנות" נעשה מראש בעת בניית המכונה אבל ניתן לחשוב בקלות על רובוט מתופף מודרני בו כל הפרמטרים ניתנים לשינוי. זה יאפשר החלטות כמו טכניקות ידיים משתנות ותבניות קצב מתחלפות אבל לא יקדם אותנו כלל אל פרשנות מוזיקלית.

זהו אתגר לא טריוויאלי לבוני רובוטים. רובוטים בספרות המדע הבדיוני ובשלהי המאה העשרים הן מכונות שיכולות לשכפל את את הפעולה האנושית בעיקר כשהיא חוזרת על עצמה. כאשר קארל צָ'אפֶּק טבע את המילה "רובוט" במחזהו "R.U.R" ("רובוטים אוניברסליים של רוסום"). הרעיון היה להחליף את האדם כאשר העבודה היא משעממת ובנסיבות קשות או אפילו מסוכנות. דוגמאות מובהקות הן הרובוטים המרתכים בתעשיית הרכב או הרובוט המשטרתי לפרוק פצצות. בשנים האחרונות יש שינוי כיוון ומחקר רב בבינה מלאכותית (AI- Artificial Intelligence) ותוצאות יוצאות דופן בתחומים מגוונים כולל רובוטים הסוחרים במניות, רובוטים רפואיים לאבחון וגם לניתוחים מדויקים, או תוכנות המשחקות בשחמט או בגו (משחק לוח יפני). תוכנות שחמט כמו קומודו המביסות כיום כל רב אומן שחמט אנושי. התרומה של AI בתחום המוסיקה (Artificial Intelligence Music- AIM) צנועה הרבה יותר ומוגבלת לכנסים ולאקדמיה ובדאי שאין רובוט מבצע שישווה למוזיקאי אנושי ואנשים לא צובאים על פתחי אולמות בהם מתקיימים קונצרטים של רובוטים. השדה של AIM רחב מאד וכולל נושאים רבים, חלקם יחסית פשוטים להבנה כמו :

1. שיטות להפקת מוזיקה בעזרת רובוטים מוזיקליים
2. שימור ואחסון מוסיקה דיגיטלית

חלקם מסובכים יותר אבל עדיין נגישים :

3. שיטות סמליות (Symbolic representations) לייצוג ותתי ייצוג של מוסיקה – איך מייצגים מוזיקה, מעבר לתווים, כולל ה"מגע האנושי" ואינטראקציה בין נגנים.
4. אינטראקציה אדם-מחשב- מוזיקה – כיצד המחשב מגיב למוזיקה אנושית כולל למשל ניסיונות להשתתפות רובוטים מוזיקליים באלתורי ג'אז.

חלקם על גבול מדע בדיוני:

5. הכרה מוזיקלית חישובית (Computational music cognition) – הרעיון הוא לנסות ללמוד לא רק את הדרוש עבור מחשב בעל יכולת של הלחנה/נגינה מוזיקלית, אבל גם להתייחס לזה כאל תהליך ולהעביר את המחשב את אותם תהליכים שעובר המלחין/המבצע.
6. ביצועים עשירי הבעה של מוסיקה ממוחשבת – כיצד ניתן לתכנת את "המגע האנושי"  לתוך המוזיקה שמבוצעת/מולחנת ע"י רובוטים

בתור משהו שממש אוהב רובוטים ואוטומטות, אולי קצת כמו אל-ג'זרי בשעתו, אני מופתע מן הנחת שנגרמת לי מן הקריאה על הקשיים של קהילת הAIM  ועל היכולות האנושיות שקשה כל כך לחקות. למרות כל מה שכתבתי אני רוצה שתראו את הסרט הבא: אינני יודע כמה מזה הוא אכן AIM  וכמה זה עריכה וקולנוע "אנושיים" אבל זה בוודאי כיף לראות ולשמוע!

https://www.youtube.com/watch?v=bAdqazixuRY

הקדמה

אל-ג'זרי עצמו כתב הקדמה לפרק זה, ואין לי אלא להביא את דבריו:

"המלך סלח אבו אל-פת' מחמוד שאלוהים ישמור על האיסלם ויאריך את ימיו, הציע שאכין מכשיר ללא שרשראות, מאזניים או כדורים, שלא יהיה חשוף לשינויים מהירים או שחיקה ואפשר יהיה לקרוא ממנו את השעות החולפות ואת חלקי השעות בנוחות. המכשיר יהיה נחמד למראה ומתאים למסעות או למגורי קבע. חשבתי על הצעתו ובניתי את זה."

"זה" הוא שעון הכתבן (באנגלית  scribe, בערבית ورّاق ) תכנון השעון דרש שני מרכיבים חישובים:

• פני השעון מאפשרים את מדידת השעות הסולאריות.
• השיפוע של רדיוס הכד דורש הבנה במכניקה של זורמים.

הפרק הזה עמוס במתמטיקה והחלקים ה"כחולים" (קטעים הנדסיים או מתמטיים צבועים בכחול) בו רבים מן הרגיל. מקווה שתצלחו אותם בשלום.

שעון המים של הכתבן, כנראה כתב יד מקהיר שהתפזר, 1354

איך זה עובד?

ההסבר ההנדסי, ייצבע, כמו תמיד, בכחול, כך שמי שלא מתעניין בגלגלות או במשקולת איזון יוכל לדלג. זהו שרטוט של המנגנון  עם כתוביות שלי:

מנגנון הכד של הכתבן

זהו כד מנחושת המחולק לשניים, מיכל תחתון וחלק עליון ביניהם יש צינור צר. ממלאים בתחילת היום את הכד(החלק העליון) במים, המצוף יהיה בשיא גובהו והעט של הכתבן מצביעה על שעת הזריחה. במהלך היום המים ירדו אט אט למיכל התחתון דרך הצינור הצר כתוצאה המצוף ירד. המצוף מחובר דרך הגלגלת המשנית לגלגלת המרכזית והוא מאוזן בעזרת המשקולת.  כאשר המצוף ירד, המשקל המאזן יעלה והגלגלת המרכזית תסתובב באופן מתאים ואיתה הכתבן ועטו. כמות המים מספיקה לארבע עשרה וחצי שעות עבור היום הארוך בשנה. בשקיעה מחזירים את המים מן המיכל התחתון אל הכד והתהליך חוזר על עצמו. אפשר לראות כאן סרט קצר על השעון:

שתי סוגיות הנדסיות ראויות להרחבה:

• פני השעון והאורך המשתנה של היום.
• איך אל-ג'זרי מצא פתרון מעשי למשוואת ברנולי שלא הכיר או הבין?

פני השעון והאורך המשתנה של היום

בקיץ הימים ארוכים והלילות קצרים, ובחורף להפך. אנחנו מזיזים את השעון שעה אחת קדימה בתחילת הקיץ ("שעון קיץ"), ובסיומה מכוונים בחזרה שעה אחת אחורה. רעיון הקדמת היום והתאמתו לשעות התאורה מיוחס לבנג'מין פרנקלין והנימוק הוא לרוב חיסכון באנרגיה אבל יש טענה כי שעון הקיץ משפר את איכות השינה, כיוון שהוא מאפשר שינה ממושכת יותר בשעות החשכה שבהן השינה עמוקה יותר ויש גם קשר בין אור לבין מצב הרוח. גם אל-ג'זרי התלבט בקשר בין אורך היום לבין השעון. זהו צילום מסך מסרטון youtube שלמעלה. הוספתי מעט כתוביות.

פני השעון, צילום מסך עם כתוביות מן הסרט של Technology and Science in Islam

פני השעון מחולקים לשמונה עשרה רצועות וכל רצועה מתחלקת לשתים עשרה שעות סולאריות. הרצועה הראשונה מכסה 360⁰, היא מיועדת לעשרה הימים החל מן ה-21 ביוני (היום הארוך בשנה). השעה הסולרית תהיה 30⁰ אבל בדיארבקיר יש כ-14.5 שעות אור ולכן השעה הסולארית תהיה ארוכה ב-12 דקות מן השעה הקבועה שאנחנו מכירים.

הרצועה השמונה עשרה (הפנימית ביותר) מיועדת לעשרת הימים האחרונים של דצמבר. יש בדיארבקיר רק 9.5 שעות אור ולכן הרצועה קוצרה ל :

9.5/14.5*360=236⁰

כל שעה תהיה מעט פחות מ20⁰ וכל שעה תהיה בקרוב 46 דקות!

הרעיון של שעות סולאריות נראה במאה ה-21 מאד מוזר ומסבך הכל. רק חסר למתכנתים שהיו נאלצים לעבוד בתזמונים שמשתנים עם לוח השנה. הזמן נשען מאז ומעולם על תנועת גרמי השמים. השנים נספרו ע"פ השמש או הירח והיממה, השעה, הדקות והשניות נגזרו כולן מן השעון השמימי. למעשה עד 1967 השנייה היתה מוגדרת  כ- 1/86,400 מיממה שמשית ממוצעת. רק עם פיתוח השעון האטומי ניתקנו את החיבור של הזמן לתנועת הכוכבים והגדרנו שנייה כ-9,192,631,770 מחזורי מעבר בין שתי רמת אנרגיה של אטום צסיום. למרות שזה שינוי שמעניין רק מדענים ספורים בעצם הפכנו את הזמן על ראשו, בעבר השנייה היתה מוגדרת ע"פ היממה השמשית, עכשיו כל יחידות הזמן; דקה, שעה, יממה וכו' נשענות על ההגדרה של שנייה. מוזר עוד יותר אבל השעונים האטומים והדיוק המופרך שלהם הם חלק מן היום יום שלנו ואי אפשר להשתמש בwaze או בכל תכנת ניווט בלעדיהם. בעולם של המאה ה-12 השעון הסולארי היה הגיוני להפליא ולמעשה יותר מחובר לתנועה השמיימית ולשעון של "הטבע".

 משוואת ברנולי ו"הפתרון" של אל-ג'זרי

הבעיה הקשה בשעוני מים היא שקצב זרימת המים אינו קבוע אלא תלוי בגובה המים במיכל.  השרטוט הבא מדגים את הבעיה. לצורך הפשטות המיכל הוא צילינדרי והצינור הדק בין הכד לבין המיכל התחתון הוגדל מאד:

ברור כי בתחילת היום כאשר הכד מלא מים זרם המים יהיה עז יותר מאשר לאחר עשר שעות כשגובה המים במיכל ירד מאד. איך מחשבים את קצב יציאת המים ומה ניתן לעשות?

הפתרון המתמטי לבעיה ניתן ע"י  דניאל ברנולי (Daniel Bernoulli) ‏  מתמטיקאי שווייצרי מן המאה ה-18 וזוכה פרס האקדמיה הצרפתית עשר פעמים. הראשון שביניהם, כמה מפתיע, על שעון מים למדידה מדויקת של הזמן בים לצרכי ניווט. (אני מחפש מפרט טכני של השעון וכל סיוע יתקבל בברכה.) הפרסים הרבים לא גרמו לו רק אושר. בשנת  1734 הוא זכה בפרס האקדמיה במשותף עם אביו, יוהאן ברנולי, מתמטיקאי בזכות עצמו. האב לא יכול היה לסבול את הבושה של להיות שווה ערך לבנו והוא אסר עליו את הכניסה לביתו ולא התפייס איתו עד יום מותו. אני בספק אם יוסף סידר הכיר את הסיפור אבל הדמיון ל"הערת שוליים" מטורף. העבודה הכי חשובה של דניאל ברנולי היא הידרודינמיקה שיצאה ב-1738:

דניאל ברנולי, הידרדינמיקה

למרות מחקר רב (מצאתי שישה מחקרים שונים!) המראה שפרחי הנדסה ופיזיקה שלמדו את הקורס במכניקת נוזלים שוגים בהבנת משוואת ברנולי בכל זאת אאתגר את קוראי הפוסט בפתרון המתמטי של בעיית שעון המים.

משוואת ברנולי אומרת ש :

 כאשר P  הוא הלחץ

 rho  היא צפיפות המים

 g  היא תאוצת הכובד  9.8 m/s² ~

 h הוא גובה הנוזל ביחס למישור היחוס

 v היא מהירות הזרימה של המים

מי שמעוניין להעמיק יכול להמשיך כאן ויש ארבעה שיעורים לא רעים ב khanacademy. הבעיה שלנו נראית כך: 

נוכל לרשום לכן את משוואת ברנולי:

כאשר P₁ הוא הלחץ בכד, h₁ הוא גובה המים בכד ו v₁ היא מהירות זרימת המים בכד. בהתאמה  P₂ הוא הלחץ בצינור הצר, h₂ הוא גובה המים בצינור,  ו v₂ היא מהירות זרימת המים בצינור.

גם הכד וגם הצינור פתוחים לאטמוספרה ולכן P₁=P₂=atm ואפשר לצמצם אותם. גובה המים במיכל הוא (h(t ותלוי בזמן, משום שכאשר המים ירדו למיכל התחתון, h כמובן ילך ויקטן. לעומת זאת הצינור הצר נקבע כמו מישור היחוס ולכן h₂=0. נקבל:

מאחר והצינור דק מאד בהשוואה לכד אנחנו יכולים להניח שמהירות הנוזל בצינור גדולה בהרבה ממהירות המים בכד ואפשר להזניח אותה לצורך חישוב המהירות בצינור:

למי שזה מצלצל מוכר זה נקרא חוק טוריצ'לי ואני עשיתי איתו ניסוים נחמדים עם תלמידי בחט"ב בית חשמונאי:

ניסוי בחוק טוריצ'לי. 3 חורים זהים בגבהים שונים.

כמות המים שירדה בצינור הדק מוכרחה להיות שווה לכמות המים שאיבד הכד ולכן :

כאשר A₂ הוא שטח החתך של הצינור הדק וA₁ הוא שטח החתך של הכד:

כאשר r₂ הוא רדיוס הצינור הדק הכד, אבל A1 אינו קבוע, הולך וקטן משום שהכד הולך ונהיה צר:

המהירות v₁ היא השינוי בגובה המים בכד כפונקציה של הזמן ולכן :

נחבר את ארבע המשוואות, נקבל:

נארגן את זה מחדש ונדאג שקצב ירידת המים יהיה קבוע ולכן :

מתקבל שעל מנת שהקצב יהיה קבוע רדיוס הכד צריך להיות פרופרציוני לשורש הרביעי של גובה המים:

הכלים המתמטיים האלו לא עמדו לרשותו של אל-ג'זרי. בהערת סוגריים שתדרוש פוסט נפרד אין עדות בספר לידע המתמטי הנרחב שכן היה זמין בעולם המוסלמי של המאה ה-12. אני חושד שהחינוך המתמטי של אל-ג'זרי היה יחסית מצומצם. אבל בהיותו רב תושייה הוא פיתח טכניקה ניסויית שאפשרה לו להתגבר על החוסר בכלים מתמטיים. בזמן הכנת הכד הוא סימן בעזרת סרגל את הגובה וחילק אותו לארבע עשרה וחצי חלוקות שוות. הוא מילא את הכד במים ומדד בעזרת שעון אמין את ירידת המים במשך שעה אחת. אם המים ירדו יותר או פחות מאשר שנתה אחת הוא הצר או הרחיב את הכד על ידי ריקוע. הוא חזר על התהליך עבור כל אחת מן השנתות. חבל מאד שהכד שרקע לא נותר לנו כדי להשוותו לחישוב התיאורטי אבל אי אפשר שלא להתפעל מן המעשיות של הפתרון.

הקדמה

שעון הנר של הכתבן הוא השני משלושה כתבנים אוחזי עט המופיעים בספר. הכתבן מסתובב באופן רציף ועטו יחלוף על פני חמש עשרה מעלות בכל שעה, כך שמעלה (שנתה) היא ארבע דקות בקרוב. פגשנו את הכתבן עם עטו כבר בשעון הפיל ובהמשך אכתוב על שעון המים של הכתבן שמנגנונו אחר, אבל גם שם יש כתבן עם עט המשמש כמחוג. זה מזכיר מאד שעונים "מודרנים" עם מחוגים וגרם לי לחזור ולבדוק את התפתחות מושגים כמו דקה ושניה ואת התפתחות לוח השעון והמחוגים.

שעון הנר של הכתבן "ספר הידע של התקנים מכאניים מופלאים", עותק טופקפי, 1206

איך זה עובד ?

אל-ג'זרי פותח את התיאור של שעון הכתבן :

"נתקלתי בשעון שנעשה על ידי יונס אצטרולבי הדומה לשעון שתיארתי בפרק הראשון [הכוונה  לשעון הנר של איש החרב] קורה שבמרכזה חור לפתיל החליפה את הכוסית שבה הנחתי את הנר, גיליתי שהשעווה זרמה פנימה על המכשירים…  זה גרם להרבה צרות… מסיבה זו העיצוב היה חסר תועלת."

איננו יודעים מי היה יונס אצטרולבי. אילהרד ווידמן (Eilhard Wiedemann) פיזיקאי גרמני מן המאה ה-19, מראשוני החוקרים של מדע באסלאם, שעשה רבות להביא את עבודתו של אל-ג'זרי למערב הציע שזה יונס האסטרונום והמתמטיקאי. ככל הנראה לא נדע בוודאות במי מדובר. כך או כך זה מעניין, משום שלא נותרו לנו עדויות לשעוני נרות מתוחכמים, מלבד שעוניו של אל-ג'זרי.

ההסבר ההנדסי, ייצבע, כמו תמיד, בכחול, כך שמי שלא מתעניין בגלגלות או במשקלות מאזנות יוכל לדלג. זהו שרטוט של מתרגם ומבאר הספר דונלד היל עם כתוביות שלי:

שרטוט מנגנון הכתבן ע"פ דונלד היל עם כתוביות שלי

הנר מושם על תושבת, בתוך נדן הפליז, כאשר רק הפתיל מציץ מן המכסה. אל התושבת מולחם מוט ארוך אשר עובר דרך המשקולת הראשית כך שהיא חופשית לעלות ולרדת סביבו. לקצה המוט מחוברים שני חוטים הרתומים דרך גלגלות למשקולת הראשית. היא כבדה יחסית, מעט יותר מק"ג. עם השקיעה מדליקים את הנר. בתחילת הערב כשהנר שלם, המוט יגיע לנקודה הנמוכה ביותר והמשקולת תהיה בשיא גובהה. במהלך הבעירה הנר יתקצר, הכוח שמפעילה המשקולת ידחף את התושבת כלפי מעלה בקצב קבוע התלוי בקצב הבעירה. אל תחתית המשקולת מחובר חוט נוסף הכרוך על הגלגלת שעל צירה יושב הכתבן. כאשר הנר מתקצר המשקולת תרד והגלגלת תסתובב ואיתה יסתובב הכתבן. בכל שעה הוא יעבור עם עטו על פני חמש עשרה מעלות ולכן ניתן לדעת את הזמן בדיוק של 4 דקות. ארבע עשר כדורים חלולים נמצאים במחסנית החופשית לעלות. המחסנית מחוברת בחוט לתושבת. לאחר שעה הנר התקצר והתושבת עלתה ומשכה אתה את המחסנית והכדור הראשון הגיע לפתח תעלה המחוברת לראשו של הבז. הכדור יתגלגל החוצה מתוך מקורו. התהליך הזה יחזור על עצמו מידי שעה עד לזריחה.

דקות ומדידתן

הגלובוס ופני השעון חייבים את צורתם לשיטה נומרית בת כארבעת אלפים שנים. הבבלים עשו חישובים אסטרונומיים על בסיס  סקסגסימלי ( בסיס שישים). ניתן רק לשער למה עמי המזרח הקדומים (מלבד הבבלים גם האשורים היו סקסגסימלים) אמצו את השימוש במספר שישים כבסיס. יש טענה שהשימוש במספר שישים נבחר משום שהוא המספר הראשון שמתחלק במספרים אחד עד שש. לחלופין יש  טענה שזה נובע מכך ששנת הירח מכילה שלוש מאות ושישים ימים ויש בוודאי השערות נוספות. הִיפַּרְכוֹס מניקאה שכבר הוזכר כאן כמו גם אסטרונומים יוונים אחרים השתמשו בכלים אסטרונומים שפותחו בעבר על ידי הבבלים. היפרכוס השתמש  בגיאומטריה של כדור למציאת מיקומים על פני כדור הארץ. היו לפניו ניסיונות לשימוש בקווי רשת למיפוי כדור הארץ אבל הוא היה הראשון להפעיל מתמטיקה פורמאלית של קווי אורך המקיפים 360⁰ ורצים מדרום לצפון וקווי רוחב המקבילים לקו המשווה.

קווי אורך ורוחב למציאת מיקום על פני כדור הארץ

פְּתוֹלָאמָיוּס קְלָאוֹדִיוּס, המוכר בקצרה בשם תַלְמַי, נחשב לאסטרונום החשוב ביותר בעת העתיקה. ספרו אלמגסט, שיבוש  של השם בערבית (المجسطي) נחשב ליצירת הפאר של האסטרונומיה היוונית. הדיון  באלמגסט  הוא לרוב בהקשר של המודל הגאוצנטרי לפיו כוכבי הלכת נעים סביב כדור-הארץ, מודל שהיה מקובל על הקהילה המדעית עד לעבודתו של קופרניקוס במאה השש עשרה. מסתבר שתלמי השתמש והרחיב את עבודתו  של היפרכוס על ידי תת חלוקות של  360⁰ של קווי אורך ורוחב למקטעים קטנים יותר. כל מעלה חולקה לשישים שנקראו partes minutae primae או מילולית החלק הראשון הקטן, בהמשך זה צומצם לminutae או minute, מילולית הקטנה וגם אלו חולקו לשישים ונקראו  partes minutae secundae, או החלק השני הקטן וזה צומצם לsecondae או second.

גם יחידות הזמן בעברית משקפות את השמות ההיסטוריים, דקה מלשון דק בדומה ל- minute שפרושו קטנה והחלוקה השנייה היא השנייה, זהה לגמרי לseconds.

שעונים עדיין לא הראו דקות ושניות מאות שנים אחרי האלמגסט, גם בגלל מגבלות הטכנולוגיה וגם משום שלא היה צורך בכך. המשמעות של שעה כשישים דקות לא היתה מובנת לציבור הרחב. לא נותרו שעונים מכניים רבים מן המאה הארבע עשרה אבל כל אלה שמצאתי הם ללא מחוגי דקות וברוב המקרים מציינים את השעות שחולפות ע"י צלצול פעמון. יש הטוענים כי השעון בקתדרלה בסולסברי בדרום אנגליה הוא השעון העובד העתיק ביותר בעולם ומתארכים אותו (לא ודאי) לשלהי המאה ה-14.  זהו שעון ברזל גדול ללא חוגה וכמובן ללא מחוגים. בעולם יש שעונים נוספים המתחרים על התואר. לאף אחד מהם אין מחוג דקות:

השעון בקתדרלה בסולסברי

השעון במגדל השעון בפורצנברג , עיירה קטנה בדרם גרמניה הוא הוא השעון העתיק ביותר שיש ודאות לגבי תאריך בנייתו. התאריך 1463 מוטבע בברזל. נותר חוסר וודאות קטן אם זו שנת הבנייה או אולי השעון עתיק יותר, וזהו תאריך של  תיקון?  גם לשעון זה רק  מחוג שעות:

מגדל השעון ב Fortchenberg

מי היה הראשון להתקין את מחוג הדקות? לא ברור אבל למחוג השניות יש "אבא". ז'וסט בורג'י (Jost Bürgi) היה שען החצר של וילהלם הרביעי, רוזן הסן-קאסל, מתמטיקאי ואסטרונום בעצמו. למרות שהרוזן נשכח מספרי היסטורית המדע הוא היה אסטרונום יוצא דופן ותצפיותיו, במיוחד אלה של כוכבי השבת, היו מדויקות ממש כמו התצפיות של של טיכו ברהה. בורג'י הובא לחצר בקאסל על מנת לפתח מכשירים מדעיים, ולאשר את המודל ההליוצנטרי של קופרניקוס. הוא בנה מכשירים שונים עבור המצפה וב-14 לאפריל 1586 כתב הרוזן לטיכו ברהה שבורג'י בנה שעון מדויק שיש לו מחוג דקות, מחוג שניות והוא טועה בפחות מדקה בכל 24 שעות! כריסטוף רוטמן, אסטרונום נוסף מאותה התקופה כתב על השעון החדש המופלא:

"משך הזמן של שנייה הוא לא קצר מאוד אבל דומה לאורך של הצליל הקצר ביותר בשיר איטי למדי"

השעון המדויק של ז'וסט בורג'י

זה מנציח את הרגע שבו המדע והטכנולוגיה מיצרים מציאות חדשה.

אפילוג

היום קראתי על תערוכה במוזאון ישראל של כריסטיאן בולטנסקי הנקראת "ימי חיים". הוא כתב:

"חלק מרכזי בעבודתי היא העובדה שכל אדם הוא מיוחד, אחד ויחיד וחשוב, שכל אחד סופו להיעלם. רובנו נשכח בחלוף שני דורות, עם לכתם של הקרובים לנו"

זה בודאי לא נכון לאל-ג'זרי אבל ככל הנראה נכון לרובנו. התערוכה משלבת יצירות מוקדמות של בולטנסקי לצד עבודות חדשות וכוללת שעון עצר דיגיטאלי שסופר ללא הרף את השניות מרגע הולדתו של האמן. מצאתי צילום של שעון עצר ממיצב (installation) של בולטנסקי בבינאלה. אינני יודע אם המוצג במוזיאון ישראל זהה.

כריסטיאן בולטנסקי, הביאנלה לאומנות ונציה, 2011