مقدمة

كتب الجزري بنفسه مقدمة لهذا الفصل، وليس لدي سوى أن أقتبس من كلماته:

“وذلك [أن الملك الصالح أبا الفتح محمود بن محمد بن قرا أرسلان امتحني فاقترح] أن أعمل له آلة معراة من السلاسل أو الموازين والبنادق ومما يسرع إليه التغير والفساد وليعلم منها مضي ساعات وأجزاء ساعات بغير كلفةٍ وتكون لطيفة الشكل مستصحبة في السفر والحضر. فأنعمت الفكرة وصنعت باقتراحه ما أصفه”

“هذه” هي فنكان الكأس أو ساعة الكاتب. تصميم الساعة يتطلب حساب مكونين، وجه الساعة يسمح بقياس الساعات المستوية (وسيتبع ذلك مزيد من التفاصيل (ويتطلب ميل نصف قطر الكأس فهمًا لـميكانيكا الموائع. هذا المنشور ثقيل نسبيًا بالرياضيات، والأجزاء «الزرقاء» (التفسير التقني) أكثر شمولاً من المعتاد. آمل أن تتمسك به وربما تستمتع به.

كيف تعمل ساعة الكأس

سيتخذ الشرح التقني اللون الأزرق، كالمعتاد؛ لذلك يمكن لأي شخص غير مهتم ببكرات أو بثقل التوزان تخطي تلك الأجزاء. الرسم أدناه هو آلية ساعة الماء الكأس مع تعليقاتي:

هذا كأس نحاسي مقسم إلى جزأين، الدورق العلوي والقاعدة متصلان بواسطة أنبوبٍ دقيق جدًا. الكأس (الجزء الأعلى) مملوء بالماء في بداية اليوم. تُرفع العوامة إلى أقصى ارتفاع لها، ويتدلى الوزن قدر الإمكان. كان الماء يُصرف ببطءٍ عبر الأنبوب الدقيق إلى القاعدة. ونتيجة لذلك، تغرق العوامة، وترتفع الثقالة، مما يتسبب في دوران البكرة الكبيرة مع الكاتب وقلمه. تكفي المياه لمدة 14 ساعة و30 دقيقة لأطول يوم في السنة. عند غروب الشمس، يُرجع الماء إلى الدورق من القاعدة، وتعيد العملية نفسها.

يمكنك مشاهدة فيلم قصير عن الساعة الكأس على YouTube من Technology & Science In Islam’ هنا:

هناك مسألتان هندسيتان بحاجة إلى مزيد من المناقشة:

• وجه الساعة والطول المتغير لليوم.
• كيف وجد الجزري حلًّا عمليًا لمبدأ برنولي التي لم يعرفها أو يفهمها؟

وجه الساعة والطول المتغير لليوم

في الصيف، تكون الأيام طويلة، والليالي قصيرة، والعكس صحيح في الشتاء. نحن ننقل الساعة إلى الأمام ساعة واحدة في بداية الصيف (توقيت صيفي)، وفي الخريف، أعدنا عقارب الساعة إلى الوراء. تُنسب فكرة «توقيت الصيفي» إلى بنجامين فرانكلين، والأساس المنطقي هو توفير الطاقة، ولكن اُقترح أن التوقيت الصيفي يحسن جودة النوم؛ حيث ننام لفترة أطول أثناء الظلام الذي يسمح بنوم أعمق، ونعلم أن نقص ضوء الشمس يمكن أن يسبب اضطرابًا عاطفيًا موسميًا. كما تناول الجزري طول اليوم المتغير. مُرفق أدناه لقطة شاشة من مقطع YouTube. أضفت بعض التعليقات.

ينقسم وجه الساعة إلى ثمانية عشر قِطَاعَات، وينقسم كل قِطَاع إلى اثني عشر ساعة متساوية. يغطي النطاق الخارجي 360⁰؛ يُصمم لمدة عشرة أيام اعتبارًا من 21 يونيو (الانقلاب الصيفي). ستكون الساعة المتساوية 30⁰، لكن في ديار بكر في ذروة الصيف هناك حوالي 14.5 ساعات من النهار، لذا ستكون الساعة المتساوية أطول بـ 12 دقيقة من الساعة الثابت الذي نعرفه.

القِطَاع الثامن عشر(الأقرب) هو للأيام العشرة الأخيرة من شهر ديسمبر. لا يوجد سوى 9.5 ساعات من ضوء النهار في ديار بكر، لذلك اُختصر القِطَاع إلى:

360⁰*14.5/9.5=236⁰

كل ساعة ستكون أقل بقليل من 20⁰، لذا فإن الساعة هي 46 دقيقة فقط!

يبدو مفهوم الساعات المتساوية غريبًا جدًا في القرن الحادي والعشرين ويعقد كل شيء. لمجرد التفكير في أن المبرمجين سيضطرون إلى تغيير توقيت البرنامج مع التقويم. يعتمد مفهومنا للوقت على حركة الأجرام السماوية. تُحتسب السنوات بناءً على الشمس أو القمر. اُشتق يوم وساعة ودقائق وثوانٍ منها. في الواقع، حتى عام 1967، عُرّفت الثانية على أنها 1/86400 من اليوم متوسط.

فقط مع تطور الساعة الذرية، انفصل التعريف عن دورة دوران الأرض، والثاني هو بالضبط 9,192,631,770 دورات الانتقال بين مستويين من الطاقة لذرة السيزيوم 133. على الرغم من أن الأمر يبدو غريبًا، إلا أن الساعات الذرية عالية الدقة هي جزء من حياتنا اليومية، ولا يمكننا استخدام Waze أو أي برنامج تنقل آخر بدونها. في عالم القرن الثاني عشر، كانت الساعات المستوية منطقية تمامًا وكانت أكثر ارتباطًا بالطبيعة وحركة الأجرام السماوية.

 معادلة برنولي و «حل» الجزري

المشكلة الصعبة في أي ساعة مائية هي أن تدفق المياه ليس ثابتًا، ولكنه يعتمد على مَنْسُوب الماء في الخزان. يوضح الرسم البياني التالي المشكلة. من أجل البساطة، يكون الخزان اسطوانيًا، وزيد حجم الأنبوب الدقيق للوضوح:

من الواضح أنه في بداية اليوم عندما يكون الكأس مليئًا بالمياه، سيكون تدفق المياه أقوى بكثير مقارنةً بتدفق المياه بعد عشر ساعات عندما ينخفض منسوب المياه في الكأس. كيف يمكننا حساب تدفق المياه وما الذي يمكن فعله؟

طُرح الحل الرياضي للمشكلة من قِبل دانييل برنولي (Daniel Bernoulli)، عالم الرياضيات السويسري في القرن الثامن عشر والفائز بجائزة الأكاديمية الفرنسية عشر مرات. الأول، لدهشتي، كان فنكان (ساعة الماء) لقياس الوقت في البحر. (أبحث عن مواصفات الساعة ويُرحّب بأي مساعدة). لم تكن الجوائز العديدة دائمًا مصدر سعادة. في عام 1734 فاز بجائزة الأكاديمية الفرنسية مع والده يوهان برنولي، عالم رياضيات في حد ذاته. لم يستطع الأب تحمل العار لكونه يعادل ابنه وحظر دانييل من منزله ولم يتصالح معه حتى وفاته. أشُكُّ في أن جوزيف سيدار (مخرج الفيلم الإسرائيلي) كان على علم بقصة برنولي، لكن التشابه مع فيلم «Footnote» مذهل. أهم عمل لدانيال بيرنولي هو الديناميكا المائية التي صدرت في عام 1738:

على الرغم من البحث المكثف (وجدت ست دراسات مختلفة!) تشير إلى أن طلاب الفيزياء والهندسة يواجهون صعوبات مفاهيمية لفهم معادلة برنولي، سأتحدى قرّائي بحل مشكلة ساعة الماء.

تقول معادلة برنولي أن:

P هو الضغط

        rho   هي كثافة الماء

        g   هو تسارع الجاذبية ~ 9.8 m/s²

         h هو ارتفاع الماء فوق مستوى مرجعي

         V هي سرعة الماء.

أولئك الذين يريدون التعمق في القراءة يمكنهم القراءة هنا وهناك أربعة فصول أوصي بها في أكاديمية خان. مشكلتنا تبدو كما يلي:

يمكننا كتابة معادلة برنولي:

عندما يكون  هو الضغط في الكاس، h₁ هو ارتفاع الماء في الكاس و  هو سرعة تدفق الماء في الكأس. على التوالي الضغط في الأنبوب دقيق هو  ، h₂ هو ارتفاع الماء في الأنبوب، و   هو سرعة تدفق الماء في الأنبوب.

ومع ذلك، فإن الكأس والأنبوب مفتوحان على الغلاف الجوي. وبالتالي P₁=P₂=1atm ويمكن إزالته. مستوى الماء في الكأس هو h(t) ويعتمد على الوقت لأنه عندما يتدفق الماء عبر الأنبوب إلى القاعدة، ينخفضh. ومع ذلك، حُدّد ارتفاع ماء الأنبوب على أنه المستوى المرجعي وبالتالي h₂=0. سنعيد تنظيم:

نظرًا لشدة ضيق الأنبوب مقارنةً بالكأس، يمكننا أن نفترض أن التدفق في الأنبوب أسرع بكثير بالنسبة لسرعة الماء في الكأس ويمكن التغاضي عنه لحساب سرعة الماء في الكأس:

إذا كان هذا يبدو مألوفًا إلى حد ما، فذلك لأن هذا هو قانون توريشيلي وكنت أجري بعض التجارب الجميلة جدًا مع طلاب مدرستي الإعدادية في بيت هاشموناي:

يجب أن تكون كمية المياه التي تتدفق عبر الانبوب مساوية لكمية الماء التي يفقدها الكأس:

حيث A₂ هي منطقة المقطع العرضي للأنبوب الدقيق وA₁ هي منطقة المقطع العرضي لكأس:

حيث r₂ هو نصف قطر الأنبوب. ومع ذلك، فإن A₁ هو دالة الزمن لأن نصف قطر الكأس ليس ثابتًا ولكنه يصبح أضيق في الأسفل:

السرعة  هي التغير في ارتفاع الماء في الكأس ومن ثم:

 

سنقوم بإعادة ترتيب المعادلات الخمس الأخيرة:

ومع ذلك، نريد أن يكون التغيير في ارتفاع الماء ثابتًا (هذا هو سبب التمرين بأكمله!):

 

او:

لكي يكون dh/dt ثابتًا، يجب أن يكون نصف قطر الكأس مساويًا للجذر التربيعي لارتفاع الماء.

هذه الأدوات الرياضية لم تكن متاحة للجزري. لا يوجد دليل في «كتاب في معرفة الحيل الهندسية» على المعرفة الرياضية الواسعة التي كانت متاحة في العالم الإسلامي في القرن الثاني عشر. أظن أن التعليم الرياضي للجزري كان محدودًا إلى حد ما. هذا موضوع مختلف وآمل أن أكتب منشورًا منفصلاً في المستقبل. لكن نظرًا لكونه واسع الحيلة، فقد طور تقنية تجريبية سمحت له بالتغلب على نقص الأدوات الرياضية. أثناء تحضير الكأس، بمساعدة المسطرة، قسّم الارتفاع إلى أربعة عشر جزءً ونصف متساويين. ملأ الجزري الكأس بالماء وراقب تدفق المياه لمدة ساعة باستخدام ساعة موثوقة. إذا وردت الماء إلى العلامة الثانية، فإن نصف قطر الكأس صحيح، وإلا طرق الجزري الكأس لتوسيعه أو جعله أضيق. تكررت العملية لكل علامة. ومن المؤسف أن الكأس التي صنعها الجزري لم تبق مقارنتها بالحساب النظري, يجب على المرء أن يعجب بعملية حل الجزري.